Teoria superstrun! cz. II

Na początku kilka sprostowań...
Być może wielu z Was słyszało coś o „Boskiej cząstce”, czyli cząstce Higgsa, zwanej również bozonem Higgsa. Tym problemem, tzn. czy cząstka ta istnieje, czy nie, Teoria superstrun akurat nie zajmuje się. Bozon Higgsa, według teorii modelu standardowego, ma być odpowiedzialny za masę innych cząstek. Prawdą jest, że jej jeszcze nie wykryto i raczej nie prędko to nastąpi (może wcale!) i kto wie, czy właśnie z tego powodu model standardowy nie ulegnie znacznej modyfikacji. Nota bene ma on (model standardowy) obecnie olbrzymie kłopoty eksperymentalne, gdyż są znaczne różnice między teorią modelu standardowego, a doświadczeniami. Może o tym więcej napiszę w innym cyklu, kiedyś przy okazji innych problemów naukowych. Przejdźmy jednak do Teorii Superstrun i jej problemów. W Teorii Superstrun cząstki elementarne są modelowane jako drgające w wielu wymiarach pętle, tylko nie wiadomo z czego te pętle miałyby być „zrobione”? Ktoś kiedyś powiedział, że „Teoria Superstrun to odprysk fizyki XXI wieku, który przypadkowo wpadł do fizyki XX wieku”. Nie jest jednak tak słodko - Teoria ta napotyka również na ogromne kłopoty, nie tylko z powodu kosmicznego aparatu matematycznego, ale również z pewnych przyczyn zasadniczych. Istnieje przypuszczenie, że teoria ta może być jednak ślepym zaułkiem fizyki. Nie wszystko co matematycznie eleganckie, musi być fizycznie słuszne. Ale nie wykluczone, że za 50 lat dzieciaki w przedszkolach będą się uczyć o Teorii Superstrun w zarysie i będą o niej śpiewać piosenki. Jeszcze „małe ale” o Superliczbach:
Superliczby to liczby Grassmanna, gdy zmieniają kolejność, to ta zmiana pociąga za sobą zmianę znaku. Czyli:
a x b = - b x a.
Zasada przemienności mnożenia nie obowiązuje. To już nie są liczby rzeczywiste, a więc nasze przyzwyczajenia, że a x b = b x a nie sprawdza się dla superliczb. Dziwne co? :) Może więcej o genialnym niemieckim matematyku następnym razem?
Dzisiaj uważniej przyjrzymy się postaci innego wybitnego matematyka, matematyka najwyższej klasy, który przyczynił się najbardziej do powstania Teorii Superstrun:
- czyli mowa o Hindusie Srinivasie Ramanujanie.

Srinivasa Ramanujan urodził się w 1887 r. w Erode, w mieście na południu Indii - niedaleko Madrasu. Pochodził z biednej rodziny, z kasty braminów. Ojciec Ramanujana pracował jako urzędnik w sklepie odzieżowym. Nauczyciele Ramanujana przewidzieli, gdy był jeszcze dzieckiem, że ma wybitne zdolności. Kiedy tylko nauczył się podstaw trygonometrii, odkrył szereg praw rządzących sinusami i cosinusami. Był bardzo zaskoczony, kiedy dowiedział się później, że te prawa są już odkryte przez pewnego genialnego szwajcarskiego matematyka, Leonarda Eulera, ponad sto lat wcześniej. Już około 10 roku życia zasłynął w wiosce z powodu niespotykanych umiejętności rachunkowych, między innymi samodzielnie ustalił tożsamość Eulera. Jak pewnie prawie każdy człowiek, miał Ramanujan przyjaciela, który starał się mu pomóc. Przyjaciel ów pożyczył z biblioteki książkę o matematyce, specjalnie dla Ramanujana. Książka ta była zatytułowana: „Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics”. Jej Autorem był Georga S. Carra z Uniwersytetu w Cambridge. Ramanujan miał wtedy 16 lat.
Był to pierwszy kontakt z zachodnią matematyką poprzez lekturę książki Georga S. Carra, z której zaczął udowadniać twierdzenia. Praca Carra była po prostu wyliczeniem około 5000 twierdzeń z dziedziny algebry, trygonometrii, rachunku różniczkowego i geometrii analitycznej. Jednak dla młodego miłośnika liczb książka ta stała się przyczyną czegoś w rodzaju objawienia. Nagle okazało się, że Ramanujan zna i kocha liczby. Ta właśnie książka spowodowała obudzenie się w nim geniuszu. Wedle powszechnej opinii, nikt nie był w stanie prześcignąć Ramanujana w matematyce. Kiedy np. nauczyciel w rządowym college’u w Kumbakonam zapisywał dwie tablice w celu rozwiązania jakiegoś problemu trygonometrycznego lub algebraicznego, przy czym czynił to w 10 lub 11 etapach (trudnych do zrozumienia dla większości uczniów), Ramanujan prosił o pozwolenie skrócenia rozwiązania i rozwiązywał problem w 2 lub 3 krokach - tłumacząc przy tym każdy pojedynczy krok nauczycielowi. Zajmował się często matematyką na innych wykładach. W szkole średniej słabo sobie radził, nudziły go zadania domowe i ciągle przeprowadzał własne obliczenia. Uciekł z domu, a potem znów wrócił, ale niestety zachorował i znów się nie dostał do szkoły. W rezultacie został pozbawiony stypendium i wyrzucony z college’u. Po kilku nieudanych próbach wznowienia nauki powrócił do domu. Później jeszcze próbował zdać egzamin końcowy, jednak bez powodzenia.

W wieku 25 lat, z pomocą przyjaciół zdobył posadę niższego urzędnika w Port Trust w Madrasie, z niskim wynagrodzeniem, w wysokości 20 funtów na rok, z czego utrzymywał swoją młodą żonę oraz matkę, mieszkającą razem z nimi. Jednakże prawdziwym zajęciem Ramanujana była zawsze matematyka. W pracy miał czas na dalsze rozwijanie swoich zainteresowań matematyką. Lubił również liczyć coś na kartkach, leżąc na brzuchu na pryczy na werandzie, którą dzielił z licznymi współlokatorami swego domu. Zaczynał pisać, kiedy zmniejszał się codzienny upał. Jego żona - Janaki oraz matka podawały mu obiad, podczas gdy on zapisywał swoje kartki, strona po stronie. Nieraz pisał do 6 rano, po czym zasypiał na krótko, aby stawić się do swojej urzędniczej pracy. Być może stan ten pozostałby niezmieniony przez większość czasu jego życia, że był matematykiem w nocy i urzędnikiem w ciągu dnia, gdyby nie dyrektor zarządu, który rozpoznał jego matematyczny geniusz. Nakłonił Ramanujana, aby wysłał niektóre ze swych prac do matematyków brytyjskich i postarał się o ich poparcie. Spragniony kontaktu z innymi matematykami wysłał listy ze 120 twierdzeniami do trzech znanych brytyjskich matematyków, z których dwóch zignorowało tą korespondencję. Jeden z listów Ramanujana, datowany na 16 stycznia 1913 r., a adresowany do matematyka G. H. Hardy’ego z Cambridge, został pobieżnie przeczytany i zignorowany. Hardy, choć początkowo odrzucił wyniki Ramanujana, po przedyskutowaniu ich z innymi matematykami zmienił jednak zdanie. Z początku uznał list Ramanujana za plagiat, jednak 16 stycznia 1913 r., po spotkaniu z Johnem Littlewoodem, ponownie mu się przyjrzał i obok znanych twierdzeń znalazł także dotąd nieznane. „Nigdy niczego podobnego nie widziałem” - pisał później Hardy - „Muszą być prawdziwe, bo... po prostu nikt nie miałby tyle wyobraźni, aby je wymyślić”. Wkrótce potem Ramanujan przyjął zaproszenie Hardy’ego i przybył do Anglii w 1914 r.. W Cambridge został bardzo ciepło przyjęty i nieomal natychmiast zaczął tworzyć olśniewające prace. Jednakże kilka miesięcy później Anglia przystąpiła do I wojny światowej. Chociaż ściął włosy i zamienił swój turban na kapelusz (którego nie znosił) i unikał, kiedy tylko mógł noszenia butów i skarpetek. Wilgotny chłodny klimat był dla niego męczarnią i w maju 1917 r. Hardy zawiadomił uniwersytet w Madrasie, że Ramanujan cierpi najprawdopodobniej na nieuleczalną chorobę. Niektórzy sądzili później, że mógł zachorować na gruźlicę, jednak objawy nie były typowe. Być może chorobę spowodował znaczny niedobór witamin. Nie ma w każdym razie jednolitego poglądu na przyczynę choroby. Przez trzy lata Ramanujan współpracował z Hardym w Trinity College. Często bywał w sanatoriach. Do Indii powrócił po I wojnie światowej w 1919 r. w bardzo złym stanie fizycznym, gdzie zmarł rok później, w wieku zaledwie 32 lat. Ramanujan jeszcze przez rok czasu przed śmiercią tworzył twierdzenie za twierdzeniem, choć był bardzo osłabiony nieznaną chorobą. Tuż przed śmiercią był nieprzytomny przez prawie 4 dni.

Niektóre z najbardziej znanych prac Ramanujana dotyczą czegoś, co pozornie wydaje się dziecinną zabawą, a co matematycy nazywają problemem podziału. Zagadnienie to polega na wykazaniu, na ile sposobów liczba całkowita może być przedstawiona jako suma innych liczb całkowitych. Np. liczbę 4 można przedstawić na 5 różnych sposobów:
3+1; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1; oraz sama 4.

Kiedy liczba staje się większa, tego rodzaju jej przedstawienie przestaje być dziecinną zabawą. Np. ilość podziałów liczby 200 wynosi 4 biliony! Jednym z największych osiągnięć Ramanujana i Hardy’ego był sposób na obliczenie ilości podziałów dowolnej liczby. Jest to długi, skomplikowany wzór, wymagający ciągłych iteracji i wykorzystujący ponadto dwa krótsze wzory. Krotność powtarzania tych obliczeń zależy również od pierwiastka kwadratowego dzielonej liczby! Wyniki Ramanujana dotyczące zagadnienia podziału okazały się niezwykle użyteczne dla fizyków teoretycznych pracujących nad superstrunami. Zgodnie z tą teorią obiekty wszechświata istnieją dzięki drganiom nieskończenie małych strun zwiniętych w ciasne pętle, przy czym długość takiej struny wynosi zaledwie 10 ^-33 cm. Ruch strun powoduje powstawanie cząsteczek według reguły im bardziej intensywny ruch, tym cięższa cząsteczka. Cząsteczki dzielą się na lżejsze, które mogą być postrzegane, i cięższe istniejące jedynie teoretycznie. Ruch strun ma odbywać się, zgodnie z teorią, w dziewięciu wymiarach przestrzennych i jednym czasowym, jednakże naszymi ograniczonymi ludzkimi zmysłami, dysponując niedostatecznie mocnymi akceleratorami cząsteczkowymi, nie możemy postrzegać sześciu z nich. Co więcej, chociaż ruchy strun odbywają się w świecie dziesięciowymiarowym, wewnątrz każdej z nich istnieje jeszcze 16 dalszych wymiarów. Jednakże dzięki matematyce można badać ten fantastyczny świat, przy czym najbardziej pomocne są tu prace Ramanujana. Zdaniem Jeffreya Herveya, jednego z fizyków z tzw. kwartetu smyczkowego, którego członkowie są autorami Teorii Superstrun, teoria podziałów jest ich podstawowym narzędziem pracy. Matematyka Ramanujana znajduje jednak również inne zastosowania. „W fizyce jest tyle problemów kombinatorycznych, różnego typu obliczeń, ile istnieje obiektów danego rodzaju” - mówi Carlo Moreno z Uniwersytetu w Nowym Yorku. Kiedy fizycy starali się zgłębić tajemnice budowy atomu, kluczem do jej poznania stała się teoria podziału. Dzięki matematyce można było zainteresować się, na ile sposobów elektrony mogą być rozmieszczone wokół jądra atomowego.

Ramanujan nie byłby zdziwiony zainteresowaniem matematyków jego równaniami. Twierdził wszak sam, że jego matematyka stanie się użyteczna dopiero za 100 lat - tak mówi w każdym razie jego żona, Janaki, która niedawno udzieliła wywiadu. Jednakże niewątpliwie - leżąc na swej pryczy i ledwie zauważając podaną mu przez żonę garstkę ryżu - nie mógł przewidzieć, że tworzy niektóre podstawy nauki dziewięćdziesiątych lat XX wieku. Jego prace legły u podstaw Teorii Superstrun, teoretycznych obiektów, które - zdaniem niektórych fizyków - tworzą wielowymiarowy szkielet wszelkiej materii. Przyczyniły się one również do rozwoju programów komputerowych. Ramanujan przekazywał swą wiedzę bez przestrzegania jakichkolwiek przyjętych zasad. Żyjący w biedzie i niedokształcony, nie zwracał zbyt wielkiej uwagi na czynienie wyjaśnień. Pomijał ogromne partie swego rozumowania, tak, że śledzący jego prace nieustannie zadają sobie pytanie: „Skąd to się wzieło?”


W RAMACH WSTĘPU DO CZ. III - PRZEDSTAWIAM KOLEJNY DOWÓD, WŁASNOŚCI JAKĄ MAJĄ SUPERLICZBY!!! OTÓŻ ICH ILOCZYN JEST RÓWNY ZERO!!!



C. D. N.

Teoria superstrun! cz. I

Temat superstrun interesuje mnie od 13 lat. Zetknąłem się z tą teorią przy okazji lektury książki, profesora fizyki teoretycznej na City University w Nowym Jorku - Michio Kaku, pod tytułem „Hiperprzestrzeń. Naukowa podróż przez wszechświaty równoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiar”, którego polskie wydanie ukazało się w 1995 roku. W fizyce są różne teorie, które się sprawdzają doświadczalnie w danej wąskiej dziedzinie nauki, ale pewne dziedziny w fizyce udało się połączyć w spójną matematyczną całość, a inne nie. Największym problemem do rozwiązania był problem skonstruowania prawdziwej, ścisłej kwantowej teorii grawitacji – unifikacji teorii kwantowej i ogólnej teorii względności Alberta Einsteina. Problem ten prześladował największe umysły XX wieku, łącznie z Albertem Einsteinem. Mimo licznych prób i częściowych sukcesów ciągle jeszcze nie ma ostatecznej kwantowej teorii grawitacji.
Wszystkie zdroworozsądkowe propozycje teorii wszystkiego okazały się matematycznie niespójne. Zmuszeni jesteśmy obecnie pójść dalej, by stworzyć wyższą teorię, która połączy w spójną całość zarówno ogólną teorię względności, jak i teorię kwantową. Obecnie jedyną kandydatką na teorię wszystkiego jest teoria superstrun.
Albert Einstein zadał kiedyś pytanie: Czy Bóg tworząc Wszechświat miał jakiś wybór? Wygląda na to, że nie. Zasady ogólnej teorii względności i teorii kwantowej są sobie tak obce, że jakakolwiek teoria łącząca je w spójną całość musi nie tylko mieć olbrzymią moc, ale musi również być bardzo dobrze określona. Teoria wszystkiego musi odtwarzać teorię grawitacji Einsteina na dużych odległościach, a kwantową teorię cząstek na małych, i poza tym powinna być (jak sądzi większość fizyków) pojęciowo prosta. Te warunki narzucają tak duże ograniczenia, że możliwe, iż istnieje tylko jedno rozwiązanie tego problemu.
Zacznijmy wszystko od początku: był rok 1968! Gabriele Veneziano badając silne oddziaływania jądrowe zauważył, że tak zwana funkcja beta, odkryta przez wybitnego matematyka – Eulera, 200 lat wcześniej, doskonale opisuje właściwości cząstek w silnych oddziaływaniach jądrowych. Wszyscy dziwili się dlaczego opis ten w 100% się sprawdza? Próbowano wyjaśnić tą zbieżność – wyobrażając sobie, że cząstki nie są punktami, lecz nitkami wibrującymi, czyli strunami. Dalszy los teorii strun był mocno zagrożony przez trudności, które napotkała na swej drodze, które rozwiązała inna teoria, zwana chromodynamiką kwantową. W zasadzie chromodynamika kwantowa spowodowała czasowe odejście od teorii strun, ale w 1974 roku John Schwarz i Joel Scherk zauważyli, że to co w teorii strun nie pasowało do oddziaływań jądrowych, doskonale nadawało się do oddziaływań grawitacyjnych. Początkowo pomysł ten nie cieszył się wielkim zaufaniem fizyków, ale 10 lat później Michael Green i John Schwarz zauważyli, że teoria strun ma szanse połączyć wszystkie 4 główne siły w fizyce: elektromagnetyzm, grawitację, siły jądrowe słabe i silne.

Teoria strun postuluje, że wszystkie cząstki, jakie obserwujemy we Wszechświecie, łącznie z atomami naszych ciał, składają się z małych wibrujących strun. Rezonanse, czyli "dźwięki" tych strun, tworzą menażerię cząstek elementarnych (fermiony – takie jak elektron, czy kwark i bozony – np. foton i gluon). Wszechświat jest symfonią drgających strun, a zasady harmonii są znanymi nam prawami fizyki. Chcąc zunifikować fizykę odkryto w latach 70-tych matematyczne transformacje przekształcające bozony w fermiony i fermiony w bozony. Owe przekształcenia nazwano supersymetrią. Wkrótce później odkryto inną arcyciekawą własność supersymetrii, która zawiera w sobie coś, co jest bardzo podobne do ogólnej teorii względności Alberta Einsteina – z tego czegoś powstała teoria supergrawitacji. Początkowo przez to teoria strun zawisła w niebycie na jakiś czas, ale wkrótce znowu zaświtała nadzieja: do teorii strun można było włączyć supersymetrię. Jak widzimy losy teorii strun były w historii niezwykle burzliwe i dramatyczne i na tym się nie kończą. To połączenie teorii strun i supersymetrii dało początek nowej teorii - zwanej od roku 1981 – teorią superstrun. I tak jest również w chwili obecnej, po małych sukcesach teorii superstrun przychodzą niestety kolejne kryzysy, a po nich nowe nadzieje i tak w kółko...
Pewnym rozwiązaniem kolejnych problemów okazało się wprowadzenie nowych elementów wzbogacających teorię o nowe bardziej zaawansowane struktury. Trzeba było wzbogacić tą teorię o dodatkowe wymiary przestrzeni.
Kiedyś myślałem, że jest tylko jedna teoria superstrun, okazało się niedawno, że jest tych teorii superstrun aż pięć. Wszystkich 5 teorii superstrun jest bardzo podobnych do siebie i właściwie jeszcze jedna teoria zwana M-teorią spaja pozostałe 5 w jedną całość. Wszystkie 5 teorii zakłada istnienie 10 wymiarów: 3 zewnętrznych – przestrzennych i 6 wewnętrznych – zwiniętych do środka, czyli w drugą stronę + czas. M-teoria wymaga dodatkowego wymiaru przestrzennego w stosunku do pozostałych 5 teorii.
Szczególną cechą teorii superstrun jest to, że mikroskopijne struny (około 100 miliardów miliardów razy mniejsze od protonu) mogą drgać tylko w dziesięciowymiarowej czasoprzestrzeni.

Mistycy, filozofowie i autorzy literatury fantastycznonaukowej zawsze fascynowali się wyższymi wymiarami. Teraz jednak mamy matematyczne powody, aby wierzyć w dziesięciowymiarową czasoprzestrzeń, ponieważ tylko we wszechświecie o takiej liczbie wymiarów jest wystarczająco dużo miejsca, aby pomieścić zarówno teorię kwantową, jak i teorię Einsteina. (Jeśli zapiszemy teorię superstrun, powiedzmy, w 12 lub 13 wymiarach, staje się ona matematycznie niespójna. Wszechświat, który początkowo miałby taką liczbę wymiarów, byłby niestabilny i zredukowałby się do wszechświata dziesięciowymiarowego).
W ten sposób narodził się nowy, zaskakujący obraz kosmologii kwantowej. Dziesięciowymiarowe pęcherzyki-wszechświaty są niestabilne. Nasz pęcherzyk wkrótce po powstaniu podzielił się na dwie części: cztero- i sześciowymiarowy wszechświat. Wszechświat sześciowymiarowy zapadł się i te wymiary uległy takiemu skręceniu (są 10 bilionów bilionów razy mniejsze od atomu), że nie możemy ich zobaczyć. Jednak zapadnięcie się sześciowymiarowego wszechświata umożliwiło ekspansję naszego czterowymiarowego Wszechświata, dając w efekcie rozszerzający się kosmos, który obserwujemy dzisiaj. Jest on produktem ubocznym o wiele bardziej gwałtownego zdarzenia, jakim było rozbicie dziesięciowymiarowej czasoprzestrzeni.
Oznacza to również, że inne pęcherzyki mogą rozpadać się na 5, 6, 7, 8 lub 9 wymiarów. Można jednak wykazać, że w takich pęcherzykach nie pojawiło się życie. Fizyka mówi nam, że stabilne układy gwiazdowe, atomy i protony mogą istnieć tylko w czterowymiarowym wszechświecie. Nasz Wszechświat ma prawdopodobnie cztery wymiary dlatego, że w przeciwnym razie w ogóle by nas tu nie było i nie moglibyśmy zastanawiać się nad tym problemem.

Tematem, który mnie osobiście najbardziej zainteresował przy okazji teorii superstrun były superliczby, które odkryto w ostatnich latach. Mają szczególną własność, ich mnożenie zmienia znak. Czyli, jeżeli mamy liczby a i b, które należą do zbioru superliczb, to prawdziwe są następujące równania:
a x b = - a x b
a x a = - a x a
Jako ciekawostkę dodam, że owe przekształcenia matematyczne są wykorzystywane przez fizyków teoretyków do uproszczeń tasiemcowych wzorów w teorii superstrun. Jest to bardzo zaawansowana teoria współczesnej fizyki, mająca dzisiaj pośrednie dowody naukowe na swoją prawdziwość i wielu zwolenników, ze względu na tendencję do unifikacji wszystkich sił w fizyce w jedną spójną teorię.
Liczby urojone powstały w matematyce tylko dlatego, że w liczbach rzeczywistych było zabronione pierwiastkowanie liczby -1. Z superliczbami jest odwrotnie, to znaczy upraszczają się do liczb rzeczywistych, ale mają dodatkową własność, którą wykazałem powyżej we wzorach. Wygląda to dziwnie! Akurat mnożenie wpływa na zmianę znaku. Ciekawe! Dlaczego? Spróbujmy potraktować superliczby jako liczby urojone, tylko trochę zmodyfikowane:














Jak widzimy nowa matematyka superliczb wymaga przekroczenia kolejnego zakazu właściwego dla liczb rzeczywistych, czyli logarytmowania liczby -1. Jest to zrozumiałe, gdy przyjmie się, że superliczby są takimi liczbami urojonymi w drugą stronę, które upraszczają się do postaci rzeczywistej.


PONIŻEJ LEKTURA UZUPEŁNIAJĄCA:
http://www.wiw.pl/biblioteka/piekno_greene/01.asp

C. D. N.